Rational homotopy groups and Koszul algebras

Let X and Y be finite-type CW-spaces (X connected, Y simply connected), such that the ring H∗(Y,Q) is a k-rescaling of H∗(X,Q). If H∗(X,Q) is a Koszul algebra, then the graded Lie algebra π∗(ΩY )⊗Q is the k-rescaling of gr∗(π1X)⊗Q. If Y is a formal space, then the converse holds, and Y is coformal. Furthermore, if X is formal, with Koszul cohomology algebra, there exist filtered group isomorphisms between the Malcev completion of π1X , the completion of [ΩS, ΩY ], and the Milnor-Moore group of coalgebra maps from H∗(ΩS,Q) to H∗(ΩY,Q). c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Groupes d’homotopie rationnels et algèbres de Koszul Résumé. Soient X et Y deux CW-espaces de type fini (X connexe, Y simplement connexe), tels que l’anneau de cohomologie H∗(Y,Q) soit un k-recalibrage de H∗(X,Q). Si H∗(X,Q) est une algèbre de Koszul, alors l’algèbre de Lie graduée π∗(ΩY )⊗Q est le k-recalibrage de gr∗(π1X)⊗Q. Si Y est un espace formel, alors l’implication réciproque est vraie aussi, et l’espace Y est coformel. De plus, si X est formel, avec algèbre de cohomologie de Koszul, on trouve des isomorphismes de groupes filtrés entre le complété de Malcev de π1X , le complété de [ΩS, ΩY ], et le groupe de Milnor-Moore d’applications de cogèbres entre H∗(ΩS ,Q) et H∗(ΩY,Q). c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Cette note est un résumé des résultats de [9]. Commençons par définir la notion de recalibrage d’un espace topologique (ayant le type d’homotopie d’un CW-complexe connexe de type fini.) Soient k un entier positif, et A∗ une algèbre graduée. On définit l’algèbre graduée A[k] par A[k] = A et A[k] = 0 si 2k + 1 p, avec la multiplication héritée de A. On dit qu’un espace Y est un krecalibrage de X si π1Y = 0 et H∗(Y,Q) = H∗(X,Q)[k], en tant qu’algèbres graduées. Un tel espace Y peut être construit à partir du modèle minimal de l’algèbre H∗(X,Q)[k], munie de la différentielle nulle. Note présentée par First name NAME S0764-4442(00)0????-?/FLA c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1 Stefan Papadima and Alexander I. Suciu Cette construction donne un espace formel, mais X peut bien avoir des recalibrages non-formels. D’autre part, si dimQ H∗(X,Q) < ∞, alors X a un k-recalibrage unique (à Q-équivalence près), pour tout k 1. Soit L∗ un espace vectoriel gradué, muni d’un crochet de Lie de degré 0. On définit l’algèbre de Lie graduée L[k] par L[k]2kq = Lq et L[k]p = 0 si 2k p, avec le crochet hérité de L. THÉORÈME 1. – Soit Y un k-recalibrage d’un espace X . Soit gr∗(π1X)⊗Q l’espace vectoriel gradué associé à la suite centrale descendante de π1X (muni du crochet induit par le commutateur du groupe), et soit π∗(ΩY ) ⊗Q l’algèbre de Lie d’homotopie de Y (munie du crochet de Samelson). (a) Si A∗ = H∗(X,Q) est une algèbre de Koszul (c’est à dire, si Torp,q(Q,Q) = 0, pour tous p = q), alors il existe un isomorphisme d’algèbres de Lie graduées π∗(ΩY ) ⊗Q ∼= gr∗(π1X) ⊗Q[k] . (1)